機率分佈與常見的分布--常態分佈

機率分佈[編輯]

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機率分佈（德語：Wahrscheinlichkeitsverteilung；英語：probability distribution）或簡稱分佈，是機率論的一個概念。使用時可以有以下兩種含義：

• 廣義地，它指稱隨機變量的機率性質－－當我們說機率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$中的兩個隨機變量X和Y具有同樣的分佈（或同分佈）時，我們是無法用機率${\displaystyle \mathbb {P} }$來區別他們的。換言之：

稱X和Y為同分佈的隨機變量，當且僅當對任意事件${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$，有${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\mathbb {P} (Y\in A)}$成立。

但是，不能認為同分佈的隨機變量是相同的隨機變量。事實上即使X與Y同分佈，也可以沒有任何點ω使得X(ω)=Y(ω)。在這個意義下，可以把隨機變量分類，每一類稱作一個分佈，其中的所有隨機變量都同分佈。用更簡要的語言來說，同分佈是一種等價關係，每一個等價類就是一個分佈。需注意的是，通常談到的離散分佈、均勻分佈、伯努利分佈、正態分佈、卜瓦松分佈等，都是指各種類型的分佈，而不能視作一個分佈。

• 狹義地，它是指隨機變量的機率分佈函數。設X是樣本空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$上的隨機變量，${\displaystyle \mathbb {P} }$為機率測度，則稱如下定義的函數是X的分佈函數（德語：Verteilungsfunktion，英語：distribution function），或稱累積分佈函數（德語：kumulative Verteilungsfunktion，英語：cumulative distribution function，簡稱CDF）：

${\displaystyle F_{X}(a)=\mathbb {P} (X\leq a)}$，對任意實數${\displaystyle a}$定義。

具有相同分佈函數的隨機變量一定是同分佈的，因此可以用分佈函數來描述一個分佈，但更常用的描述手段是機率密度函數（德語：Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion，英語：probability density function, pdf）。

• 在常用的文獻中，「分佈」一詞可指其廣義和狹義，而「累計分佈函數」或「分佈函數」一詞只能指稱後者。為了不致混淆，下文中談及上述的廣義時使用「分佈」一詞；狹義時使用「分佈函數」一詞。常態分布（英語：normal distribution）又名高斯分布（英語：Gaussian distribution），是一個非常常見的連續機率分布。常態分布在統計學上十分重要，經常用在自然和社會科學來代表一個不明的隨機變量。^[1][2]
  若隨機變量${\displaystyle X}$服從一個位置參數為${\displaystyle \mu }$、尺度參數為${\displaystyle \sigma }$的常態分布，記為：

  ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),}$^[3]

  則其機率密度函數為

  ${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}}$^[3]

  常態分布的數學期望值或期望值${\displaystyle \mu }$等於位置參數，決定了分布的位置；其變異數${\displaystyle \sigma ^{2}}$的開平方或標準差${\displaystyle \sigma }$等於尺度參數，決定了分布的幅度。
  常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線（類似於寺廟裡的大鐘，因此得名）。我們通常所說的標準常態分布是位置參數${\displaystyle \mu =0}$，尺度參數${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$的常態分布^[3]（見右圖中紅色曲線）。

  常態分布

  紅線代表標準常態分布 機率密度函數
  顏色與機率密度函數同 累積分布函數
  參數	${\displaystyle \mu }$數學期望（實數） ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$變異數（實數）
  支撐集	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
  機率密度函數	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!}$
  累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}$
  期望值	${\displaystyle \mu }$
  中位數	${\displaystyle \mu }$
  眾數	${\displaystyle \mu }$
  變異數	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
  偏度	0
  峰度	0
  信息熵	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!}$
  動差生成函數	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}\right)}$
  特性函數	${\displaystyle \phi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$