機率分佈與常見的分布--常態分佈

機率分佈[編輯]

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機率分佈(德語:Wahrscheinlichkeitsverteilung英語:probability distribution)或簡稱分佈,是機率論的一個概念。使用時可以有以下兩種含義:
  • 廣義地,它指稱隨機變量的機率性質--當我們說機率空間中的兩個隨機變量XY具有同樣的分佈(或同分佈)時,我們是無法用機率來區別他們的。換言之:
XY為同分佈的隨機變量,當且僅當對任意事件,有成立。
但是,不能認為同分佈的隨機變量是相同的隨機變量。事實上即使XY同分佈,也可以沒有任何點ω使得X(ω)=Y(ω)。在這個意義下,可以把隨機變量分類,每一類稱作一個分佈,其中的所有隨機變量都同分佈。用更簡要的語言來說,同分佈是一種等價關係,每一個等價類就是一個分佈。需注意的是,通常談到的離散分佈均勻分佈伯努利分佈正態分佈卜瓦松分佈等,都是指各種類型的分佈,而不能視作一個分佈。
  • 狹義地,它是指隨機變量的機率分佈函數。設X是樣本空間上的隨機變量,為機率測度,則稱如下定義的函數是X的分佈函數(德語:Verteilungsfunktion英語:distribution function),或稱累積分佈函數(德語:kumulative Verteilungsfunktion英語:cumulative distribution function,簡稱CDF):
,對任意實數定義。
具有相同分佈函數的隨機變量一定是同分佈的,因此可以用分佈函數來描述一個分佈,但更常用的描述手段是機率密度函數(德語:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion英語:probability density function, pdf)。
  • 在常用的文獻中,「分佈」一詞可指其廣義和狹義,而「累計分佈函數」或「分佈函數」一詞只能指稱後者。為了不致混淆,下文中談及上述的廣義時使用「分佈」一詞;狹義時使用「分佈函數」一詞。常態分布英語:normal distribution)又名高斯分布英語:Gaussian distribution),是一個非常常見的連續機率分布。常態分布在統計學上十分重要,經常用在自然社會科學來代表一個不明的隨機變量。[1][2]
    隨機變量服從一個位置參數為、尺度參數為的常態分布,記為:
    [3]
    [3]
    常態分布的數學期望值或期望值等於位置參數,決定了分布的位置;其變異數的開平方或標準差等於尺度參數,決定了分布的幅度。
    常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形,因此人們又經常稱之為鐘形曲線(類似於寺廟裡的大鐘,因此得名)。我們通常所說的標準常態分布是位置參數,尺度參數的常態分布[3](見右圖中紅色曲線)。
    常態分布
    Probability density function for the Normal distribtion
    紅線代表標準常態分布
    機率密度函數
    Cumulative distribution function for the Normal distribution
    顏色與機率密度函數同
    累積分布函數
    參數數學期望(實數)
    變異數(實數)
    支撐集
    機率密度函數
    累積分布函數
    期望值
    中位數
    眾數
    變異數
    偏度0
    峰度0
    信息熵
    動差生成函數
    特性函數

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