機率論BASIC

機率論（英語：Probability theory）是集中研究機率及隨機現象的數學分支，是研究隨機性或不確定性等現象的數學。機率論主要研究物件為隨機事件、隨機變數以及隨機過程。對於隨機事件是不可能準確預測其結果的[1]，然而對於一系列的獨立隨機事件——例如擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤等，會呈現出一定的、可以被用於研究及預測的規律[2]，兩個用來描述這些規律的最具代表性的數學結論分別是大數定律和中央極限定理。
作為統計學的數學基礎，機率論對諸多涉及大量數據定量分析的人類活動極為重要[3]，機率論的方法同樣適用於其他方面，例如是對只知道系統部分狀態的複雜系統的描述——統計力學，而二十世紀物理學的重大發現是以量子力學所描述的原子尺度上物理現象的機率本質[4]。
數學家和精算師認為機率是在0至1閉區間內的數字，指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。機率根據機率公理來指定給事件。
一事件在一事件確定發生後會發生的機率稱為給之的條件機率；其數值為。若給之的條件機率和的機率相同時，則稱和為獨立事件。且和的此一關係為對稱的，這可以由一同價敘述：「當和為獨立事件時，。」中看出。
機率論中的兩個重要概念為隨機變數和隨機變數的機率分布兩種。

留言

張貼留言

這個網誌中的熱門文章

數學日常生活中的應用(機率篇)

圖片
生活例子 [ 編輯 ] 人們對機率總是有一點觸摸不清的感覺，而事實上也有很多看似奇異的結果： 1;  六合彩 ：在六合彩（49選6）中，一共有13,983,816種可能性（參閱 組合數學 ）， 如果每周都買一組不相同的號，一年有52周，則在實驗越多次（一直買直到中獎算一次）之後，平均中獎所花的時間會越接近 {\displaystyle {\frac {13983816}{52}}=268919} 。 事實上，即使每周買相同的號，獲得頭獎的機率也是相同的。 但假設每周實際中獎的組合都不重複，268919年的 算術 推論是正確的，這說明機率和其他數學理論可能導出不同的結論。 2; 六合彩：仍然是六合彩。買5, 17, 19, 24, 33, 49中奬機率高還是買1,2,3,4,5,6的中奬機率高? 古典機率論說：一樣。 但實際上 機械 或 彩球 製造上都有些 微 小的差異，所以每組機率不一定完全相同，但必須累積多期開獎結果後才看得出來。 3;  生日悖論 ：在一個足球場上有23個人（2×11個運動員和1個裁判員）， 不可思議的是，在這23人當中至少有兩個人的生日是在同一天的機率要大於50％。 如果這23人都沒有相同的生日也不違反機率，只是小於50％。 4;  輪盤 遊戲：在遊戲中玩家可能認為，在連續出現多次紅色後，出現黑色的機率會越來越大。 這種判斷也是錯誤的，即出現黑色的機率每次是相等的，因為球本身並沒有「記憶」， 它不會意識到以前都發生了什麼，其機率始終是 {\displaystyle {\frac {18}{37}}} 。 但輪盤的前後期開獎數字形成 時間序列 （可能存在 自迴歸模型 ）。 5; 贏取電視節目裡的名車：在參賽者面前有三扇關閉的門，其中只有一扇後面有名車，而其餘的後面是山羊。 遊戲規則是，參賽者先選取一扇門，但在他打開之前，主持人在其餘兩扇門中打開了一扇有山羊的門， 並詢問參賽者是否改變主意選擇另一扇門，以使贏得名車的機率變大。 正確的分析結果是， 假如不管開始哪一扇門被選，主持人都打開其餘兩扇門中有山羊的那一扇 並詢問參賽者是否改變主意，  則改變主意會使贏得汽車的機率增加一倍； （「標準」的 三門問題 情況。） 假如主持人只在有名車那扇門被選中...
閱讀完整內容

機率分佈與常見的分布--常態分佈

圖片
機率分佈 [ 編輯 ] 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 機率分佈 （德語： Wahrscheinlichkeitsverteilung ； 英語： probability distribution ）或簡稱 分佈 ，是 機率論 的一個概念。使用時可以有以下兩種含義： 廣義地，它指稱隨機變量的機率性質－－當我們說 機率空間 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 中的兩個 隨機變量 X 和 Y 具有同樣的分佈（或同分佈）時，我們是無法用機率 {\displaystyle \mathbb {P} } 來區別他們的。換言之： 稱 X 和 Y 為同分佈的隨機變量，當且僅當對任意 事件 {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} ，有 {\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\mathbb {P} (Y\in A)} 成立。 但是，不能認為同分佈的隨機變量是相同的隨機變量。事實上即使 X 與 Y 同分佈，也可以沒有任何點ω使得 X(ω)=Y(ω) 。在這個意義下，可以把隨機變量分類，每一類稱作一個分佈，其中的所有隨機變量都同分佈。用更簡要的語言來說，同分佈是一種 等價關係 ，每一個 等價類 就是一個分佈。需注意的是，通常談到的 離散分佈 、 均勻分佈 、 伯努利分佈 、 正態分佈 、 卜瓦松分佈 等，都是指各種類型的分佈，而不能視作一個分佈。 狹義地，它是指 隨機變量的機率分佈函數 。設 X 是樣本空間 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} 上的隨機變量， {\displaystyle \mathbb {P} } 為機率測度，則稱如下定義的函數是 X 的分佈函數（德語： Verteilungsfunktion ， 英語： distribution function ），或稱 累積分佈函數 （德語： kumulative Verteilungsfunktion ， 英語： cumulative distribution function，簡稱CDF ）： {\displaystyle F_{X}(a)=\mathbb {P} (X\leq ...
閱讀完整內容

機率論的相關重要定理

圖片
機率公理 [ 編輯 ] 主條目： 機率公理 如果一個函數 {\displaystyle P:S\to \mathbb {R} ,\ A\mapsto P(A)} 指定給每一個事件空間  {\displaystyle S}  中的事件  {\displaystyle A}  一個實數  {\displaystyle P(A)} ，並且其滿足下面的 3 個公理，那麼函數  {\displaystyle P}  叫做 機率函數 ，相應的  {\displaystyle P(A)}  叫做事件  {\displaystyle A}  的機率。 公理 1：   {\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1\ (A\in S)} 事件  {\displaystyle A}  的機率  {\displaystyle P(A)}  是一個0與1之間（包含0與1）的非負實數。 公理 2：   {\displaystyle P(S)=1} 事件空間的機率值為 1 。 公理 3：   {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)} ，如果  {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 互斥事件 的加法法則。這裡需注意：公理3可以推廣到可數個 互斥事件的 聯集 。 機率的計算 [ 編輯 ] 需要提及的是下面將要介紹的 9 個計算機率的定理與上面已經提及的事件的計算沒有關係，所有關於機率的定理均由機率的 3 個公理得來，同時適用於包括拉普拉斯機率和統計機率在內的所有機率理論。 定理 1 (互補法則) [ 編輯 ] 與  {\displaystyle A}  互補事件的機率始終是 {\displaystyle P({\bar {A}})=1-P(A),\in S} 證明： 事件  {\displaystyle A}  和  {\displaystyle {\overline {A}}}  是互補關...
閱讀完整內容