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數學日常生活中的應用(機率篇)

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生活例子 [ 編輯 ] 人們對機率總是有一點觸摸不清的感覺，而事實上也有很多看似奇異的結果： 1;  六合彩 ：在六合彩（49選6）中，一共有13,983,816種可能性（參閱 組合數學 ）， 如果每周都買一組不相同的號，一年有52周，則在實驗越多次（一直買直到中獎算一次）之後，平均中獎所花的時間會越接近 {\displaystyle {\frac {13983816}{52}}=268919} 。 事實上，即使每周買相同的號，獲得頭獎的機率也是相同的。 但假設每周實際中獎的組合都不重複，268919年的 算術 推論是正確的，這說明機率和其他數學理論可能導出不同的結論。 2; 六合彩：仍然是六合彩。買5, 17, 19, 24, 33, 49中奬機率高還是買1,2,3,4,5,6的中奬機率高? 古典機率論說：一樣。 但實際上 機械 或 彩球 製造上都有些 微 小的差異，所以每組機率不一定完全相同，但必須累積多期開獎結果後才看得出來。 3;  生日悖論 ：在一個足球場上有23個人（2×11個運動員和1個裁判員）， 不可思議的是，在這23人當中至少有兩個人的生日是在同一天的機率要大於50％。 如果這23人都沒有相同的生日也不違反機率，只是小於50％。 4;  輪盤 遊戲：在遊戲中玩家可能認為，在連續出現多次紅色後，出現黑色的機率會越來越大。 這種判斷也是錯誤的，即出現黑色的機率每次是相等的，因為球本身並沒有「記憶」， 它不會意識到以前都發生了什麼，其機率始終是 {\displaystyle {\frac {18}{37}}} 。 但輪盤的前後期開獎數字形成 時間序列 （可能存在 自迴歸模型 ）。 5; 贏取電視節目裡的名車：在參賽者面前有三扇關閉的門，其中只有一扇後面有名車，而其餘的後面是山羊。 遊戲規則是，參賽者先選取一扇門，但在他打開之前，主持人在其餘兩扇門中打開了一扇有山羊的門， 並詢問參賽者是否改變主意選擇另一扇門，以使贏得名車的機率變大。 正確的分析結果是， 假如不管開始哪一扇門被選，主持人都打開其餘兩扇門中有山羊的那一扇 並詢問參賽者是否改變主意，  則改變主意會使贏得汽車的機率增加一倍； （「標準」的 三門問題 情況。） 假如主持人只在有名車那扇門被選中...
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機率分佈與常見的分布--常態分佈

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機率分佈 [ 編輯 ] 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 機率分佈 （德語： Wahrscheinlichkeitsverteilung ； 英語： probability distribution ）或簡稱 分佈 ，是 機率論 的一個概念。使用時可以有以下兩種含義： 廣義地，它指稱隨機變量的機率性質－－當我們說 機率空間 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 中的兩個 隨機變量 X 和 Y 具有同樣的分佈（或同分佈）時，我們是無法用機率 {\displaystyle \mathbb {P} } 來區別他們的。換言之： 稱 X 和 Y 為同分佈的隨機變量，當且僅當對任意 事件 {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} ，有 {\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\mathbb {P} (Y\in A)} 成立。 但是，不能認為同分佈的隨機變量是相同的隨機變量。事實上即使 X 與 Y 同分佈，也可以沒有任何點ω使得 X(ω)=Y(ω) 。在這個意義下，可以把隨機變量分類，每一類稱作一個分佈，其中的所有隨機變量都同分佈。用更簡要的語言來說，同分佈是一種 等價關係 ，每一個 等價類 就是一個分佈。需注意的是，通常談到的 離散分佈 、 均勻分佈 、 伯努利分佈 、 正態分佈 、 卜瓦松分佈 等，都是指各種類型的分佈，而不能視作一個分佈。 狹義地，它是指 隨機變量的機率分佈函數 。設 X 是樣本空間 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} 上的隨機變量， {\displaystyle \mathbb {P} } 為機率測度，則稱如下定義的函數是 X 的分佈函數（德語： Verteilungsfunktion ， 英語： distribution function ），或稱 累積分佈函數 （德語： kumulative Verteilungsfunktion ， 英語： cumulative distribution function，簡稱CDF ）： {\displaystyle F_{X}(a)=\mathbb {P} (X\leq ...
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機率論的相關重要定理

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機率公理 [ 編輯 ] 主條目： 機率公理 如果一個函數 {\displaystyle P:S\to \mathbb {R} ,\ A\mapsto P(A)} 指定給每一個事件空間  {\displaystyle S}  中的事件  {\displaystyle A}  一個實數  {\displaystyle P(A)} ，並且其滿足下面的 3 個公理，那麼函數  {\displaystyle P}  叫做 機率函數 ，相應的  {\displaystyle P(A)}  叫做事件  {\displaystyle A}  的機率。 公理 1：   {\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1\ (A\in S)} 事件  {\displaystyle A}  的機率  {\displaystyle P(A)}  是一個0與1之間（包含0與1）的非負實數。 公理 2：   {\displaystyle P(S)=1} 事件空間的機率值為 1 。 公理 3：   {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)} ，如果  {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 互斥事件 的加法法則。這裡需注意：公理3可以推廣到可數個 互斥事件的 聯集 。 機率的計算 [ 編輯 ] 需要提及的是下面將要介紹的 9 個計算機率的定理與上面已經提及的事件的計算沒有關係，所有關於機率的定理均由機率的 3 個公理得來，同時適用於包括拉普拉斯機率和統計機率在內的所有機率理論。 定理 1 (互補法則) [ 編輯 ] 與  {\displaystyle A}  互補事件的機率始終是 {\displaystyle P({\bar {A}})=1-P(A),\in S} 證明： 事件  {\displaystyle A}  和  {\displaystyle {\overline {A}}}  是互補關...
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